वक्र y^3 + 3x^2 = 12y के लिए किस बिंदु पर स्प | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y^3 + 3x^2 = 12y$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.$\frac{dy}{dx}$

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$\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y^3 + 3x^2 = 12y$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$3y^2 \frac{dy}{dx} + 6x = 12 \frac{dy}{dx}$.$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:$6x = (12 - 3y^2) \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6x}{12 - 3y^2} = \frac{2x}{4 - y^2}$.स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर तब होती है जब ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित हो,जो हर (denominator) के शून्य होने पर होता है:$4 - y^2 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.स्थिति $1$: यदि $y = 2$ है,तो $2^3 + 3x^2 = 12(2) \implies 8 + 3x^2 = 24 \implies 3x^2 = 16 \implies x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$.स्थिति $2$: यदि $y = -2$ है,तो $(-2)^3 + 3x^2 = 12(-2) \implies -8 + 3x^2 = -24 \implies 3x^2 = -16$,जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।अतः,वे बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर है,$\left( \pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 2 \right)$ हैं।

वक्र $y^3 + 3x^2 = 12y$ के लिए किस बिंदु पर स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर (vertical) है?

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