यदि f(x) = sin x - cos x - ax + b सभी x in R | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos x - ax + b$।$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \le 0$ होना चाहिए,सभी $x \in R$ के लिए।$f'(x) = \co

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$a \ge \sqrt{2}$

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(A) दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos x - ax + b$।$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \le 0$ होना चाहिए,सभी $x \in R$ के लिए।$f'(x) = \cos x + \sin x - a$।चूंकि $f(x)$ ह्रासमान है,$f'(x) \le 0 \implies \cos x + \sin x - a \le 0$।इसका अर्थ है $a \ge \sin x + \cos x$ सभी $x \in R$ के लिए।व्यंजक $(\sin x + \cos x)$ का अधिकतम मान $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ होता है।इसलिए,असमिका $a \ge \sin x + \cos x$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$a$ का मान $(\sin x + \cos x)$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।अतः,$a \ge \sqrt{2}$।

यदि $f(x) = \sin x - \cos x - ax + b$ सभी $x \in R$ के लिए एक ह्रासमान (decreasing) फलन है,तो:

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$a$ के किन मानों के लिए फलन $f(x) = x^2 + ax + 1$ अंतराल $[1, 2]$ पर वर्धमान है?

यदि $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ और $g(x) = \frac{x}{\tan x}$,जहाँ $0 < x \le 1$,तो इस अंतराल में:

सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \sin x$ द्वारा प्रदत्त फलन $(0, \pi)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान।

एक फलन $y = f(x)$,$x = \frac{1}{1 + t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1 + t^2)}$ द्वारा सभी $t > 0$ के लिए दिया गया है,तो $f$ है:

सिद्ध कीजिए कि $f(x) = e^{2x}$ द्वारा प्रदत्त फलन $R$ पर निरंतर वर्धमान है।

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