एक फलन y = f(x),x = frac{1}{1 + t^2} और y = f | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $x = \frac{1}{1+t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1+t^2)}$.चूंकि $t > 0$,$1+t^2 > 1$,इसलिए $0 < x < 1$.हमें मिलता है $1+t^2 = \frac{1}{x}$,जिसक

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$(0, 1)$ में वर्धमान है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $x = \frac{1}{1+t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1+t^2)}$.चूंकि $t > 0$,$1+t^2 > 1$,इसलिए $0 हमें मिलता है $1+t^2 = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $t^2 = \frac{1-x}{x}$.साथ ही,$y = \frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} \cdot x$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 = \frac{x^2}{t^2} = \frac{x^2}{(1-x)/x} = \frac{x^3}{1-x}$.चूंकि $t > 0$,$y > 0$,इसलिए $y = \sqrt{\frac{x^3}{1-x}}$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^3}{1-x}}} \cdot \frac{(1-x)(3x^2) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2y} \cdot \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{2y(1-x)^2}$.$f$ के वर्धमान होने के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$.चूंकि $y > 0$ और $(1-x)^2 > 0$,हमें $3x^2 - 2x^3 > 0$ की आवश्यकता है।$x^2(3 - 2x) > 0$.$x \in (0, 1)$ के लिए $x^2 > 0$ है,इसलिए हमें $3 - 2x > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x चूंकि $x$ का मान $(0, 1)$ तक सीमित है,फलन सभी $x \in (0, 1)$ के लिए वर्धमान है।

एक फलन $y = f(x)$,$x = \frac{1}{1 + t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1 + t^2)}$ द्वारा सभी $t > 0$ के लिए दिया गया है,तो $f$ है:

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मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + 3x, & x > 0 \\ 3xe^x, & x \leq 0 \end{cases}$। तो $f$ किस अंतराल में एक वर्धमान फलन है?

यदि $f(x) = \int_x^{x+1} e^{-t^2} dt$ है, तो वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान (decreasing) है, वह है

अंतराल $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ में,निम्नलिखित फलनों में से एक ह्रासमान (decreasing) फलन है

फलन $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ वर्धमान है,यदि

फलन $\sin x - bx + c$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में वर्धमान होगा,यदि

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