मान लीजिए f: R rightarrow R इस प्रकार परिभाषि | vedclass

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Question

(A) $x > 0$ के लिए,$f'(x) = -4x^2 + 4x + 3$ है। $f'(x) > 0$ रखने पर,हमें $-4x^2 + 4x + 3 > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4x^2 - 4x - 3 < 0$। गुणनख

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$\left(-1, \frac{3}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(A) $x > 0$ के लिए,$f'(x) = -4x^2 + 4x + 3$ है। $f'(x) > 0$ रखने पर,हमें $-4x^2 + 4x + 3 > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4x^2 - 4x - 3 गुणनखंड करने पर $(2x - 3)(2x + 1) चूंकि $x > 0$ है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ में वर्धमान है। $x \leq 0$ के लिए,$f'(x) = 3e^x + 3xe^x = 3e^x(1 + x)$ है। $f'(x) > 0$ रखने पर,चूंकि सभी $x$ के लिए $3e^x > 0$ है,इसलिए $1 + x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > -1$। अतः,$x \leq 0$ के लिए,$f(x)$ अंतराल $(-1, 0]$ में वर्धमान है। दोनों अंतरालों को मिलाने पर,$f(x)$ अंतराल $(-1, 0] \cup (0, \frac{3}{2}) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$ में वर्धमान है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + 3x, & x > 0 \\ 3xe^x, & x \leq 0 \end{cases}$। तो $f$ किस अंतराल में एक वर्धमान फलन है?

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सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = \log |\cos x|$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में ह्रासमान है और $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ में वर्धमान है।

फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 22$ किस अंतराल के लिए निरंतर ह्रासमान (strictly decreasing) है?

फलन $f(x) = x^{2} + 2x - 5$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है?

मान लीजिए $f(x) = e^x - x$ और $g(x) = x^2 - x$,$\forall x \in R$ है। तो $x \in R$ का वह समुच्चय ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $h(x) = (f \circ g)(x)$ वर्धमान (increasing) है।

मान लीजिए $f(x) = \int e^x (x - 1)(x - 2) dx$. तो $f$ किस अंतराल में ह्रासमान (decreases) है -

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