अंतराल left(frac{1}{e}, eright) में,निम्नलिखि | vedclass

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Question

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि अंतराल $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ में कौन सा फलन ह्रासमान है,हम प्रत्येक फलन के लिए अवकलज $f'(x)$ का चिह्न जाँचते ह

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$f(x)=x^{-x}$

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(D) यह निर्धारित करने के लिए कि अंतराल $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ में कौन सा फलन ह्रासमान है,हम प्रत्येक फलन के लिए अवकलज $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं।विकल्प $(A)$ के लिए: $f(x) = \frac{\log x}{x}$,$f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$। $x \in \left(\frac{1}{e}, e\right)$ के लिए,$\log x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है। अतः,$x  0$ है,इसलिए यह वर्धमान फलन है।विकल्प $(B)$ के लिए: $f(x) = x^2 \log x$,$f'(x) = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$। $x > \frac{1}{e}$ के लिए,$f'(x) > 0$ है,इसलिए यह वर्धमान फलन है।विकल्प $(C)$ के लिए: $f(x) = x \log x$,$f'(x) = \log x + 1$। $x > \frac{1}{e}$ के लिए,$\log x > -1$,इसलिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए यह वर्धमान फलन है।विकल्प $(D)$ के लिए: $f(x) = x^{-x}$। मान लीजिए $y = x^{-x}$,तो $\log y = -x \log x$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -(\log x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\log x + 1)$। अतः,$f'(x) = -x^{-x}(1 + \log x)$। अंतराल $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ में,$\log x > -1$,इसलिए $(1 + \log x) > 0$। चूँकि $x^{-x} > 0$,इसलिए $f'(x) < 0$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = x^{-x}$ एक ह्रासमान फलन है।

अंतराल $\left(\frac{1}{e}, e\right)$ में,निम्नलिखित फलनों में से एक ह्रासमान (decreasing) फलन है

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