(1/x)^x का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = (1/x)^x = x^{-x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\

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$(e)^{1/e}$

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(B) माना $f(x) = (1/x)^x = x^{-x}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = -(\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln(x) + 1)$ मिलता है।अतः,$f'(x) = -(1/x)^x (\ln(x) + 1)$ है।क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,$\ln(x) + 1 = 0$,अर्थात $\ln(x) = -1$,जिससे $x = 1/e$ प्राप्त होता है।उच्चतम मान की जाँच करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज का उपयोग करते हैं या $f'(x)$ के चिह्न में परिवर्तन देखते हैं।$x  0$ है।$x > 1/e$ के लिए,$\ln(x) > -1$,इसलिए $f'(x) चूंकि $x = 1/e$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $f(x)$ का $x = 1/e$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।अधिकतम मान $f(1/e) = (1/(1/e))^{1/e} = e^{1/e}$ है।

$(1/x)^x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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