પરવલય y = x^2 થી બિંદુ (0, c) નું ન્યૂનતમ અંત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય $y = x^2$ પરનું બિંદુ છે અને $Q(0, c)$ એ આપેલ બિંદુ છે.$P$ એ પરવલય પર હોવાથી,$y = x^2$. અંતર $PQ$ એ $PQ = \sqrt{(x - 0)^

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{4c - 1}}{2}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય $y = x^2$ પરનું બિંદુ છે અને $Q(0, c)$ એ આપેલ બિંદુ છે.$P$ એ પરવલય પર હોવાથી,$y = x^2$. અંતર $PQ$ એ $PQ = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - c)^2}$ દ્વારા મળે છે.અંતરને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $Z = PQ^2 = x^2 + (x^2 - c)^2$ ને ન્યૂનતમ કરીએ.$Z = x^2 + x^4 - 2cx^2 + c^2 = x^4 + x^2(1 - 2c) + c^2$.$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dZ}{dx} = 4x^3 + 2x(1 - 2c) = 2x(2x^2 + 1 - 2c)$.$\frac{dZ}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ અથવા $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ મળે છે.જો $c \leq \frac{1}{2}$ હોય,તો $x = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ છે,અને ન્યૂનતમ અંતર $x = 0$ આગળ મળે છે,$PQ = \sqrt{0^2 + (0 - c)^2} = c$.જો $c > \frac{1}{2}$ હોય,તો $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ ન્યૂનતમ આપે છે. $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ ને $Z$ માં મૂકતા:$Z = (\frac{2c - 1}{2}) + (\frac{2c - 1}{2} - c)^2 = \frac{2c - 1}{2} + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{2c - 1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4c - 2 + 1}{4} = \frac{4c - 1}{4}$.આમ,$PQ = \sqrt{\frac{4c - 1}{4}} = \frac{\sqrt{4c - 1}}{2}$.

પરવલય $y = x^2$ થી બિંદુ $(0, c)$ નું ન્યૂનતમ અંતર શોધો,જ્યાં $0 \leq c \leq 5$ છે.

Similar Questions

પરવલયો $ax^2 + 2bx + cy = 0$ અને $dx^2 + 2ex + fy = 0$ રેખા $y = 1$ પર છેદે છે. જો $a, b, c, d, e, f$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય,તો

જો રેખા $y = 2x + k$ એ વક્ર $x^2 = 4y$ ને સ્પર્શક હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

રેખા $x - 1 = 0$ એ પરવલય ${y^2} - kx + 8 = 0$ ની નિયામિકા (directrix) છે. તો $k$ ની એક કિંમત છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module