int frac{dx}{(1 + x^2)sqrt{1 - x^2}} = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(1 + x^2)\sqrt{1 - x^2}}$.$x = \sin 	heta$ रखने पर,$dx = \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में

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$\frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1} \left[ \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1 - x^2}} ight] + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(1 + x^2)\sqrt{1 - x^2}}$.$x = \sin 	heta$ रखने पर,$dx = \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{\cos 	heta \, d	heta}{(1 + \sin^2 	heta)\sqrt{1 - \sin^2 	heta}} = \int \frac{\cos 	heta \, d	heta}{(1 + \sin^2 	heta)\cos 	heta} = \int \frac{d	heta}{1 + \sin^2 	heta}$.अंश और हर को $\cos^2 	heta$ से विभाजित करने पर:$I = \int \frac{\sec^2 	heta \, d	heta}{\sec^2 	heta + 	an^2 	heta} = \int \frac{\sec^2 	heta \, d	heta}{1 + 	an^2 	heta + 	an^2 	heta} = \int \frac{\sec^2 	heta \, d	heta}{1 + 2	an^2 	heta}$.अब,$t = 	an 	heta$ रखने पर,$dt = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है:$I = \int \frac{dt}{1 + 2t^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2 + (1/\sqrt{2})^2}$.सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/\sqrt{2}} 	an^{-1} \left( \frac{t}{1/\sqrt{2}} ight) + c = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1}(\sqrt{2}t) + c$.चूंकि $t = 	an 	heta$ और $x = \sin 	heta$ है,इसलिए $	an 	heta = \frac{\sin 	heta}{\cos 	heta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ होता है।अतः,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1} \left( \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1 - x^2}} ight) + c$.

$\int \frac{dx}{(1 + x^2)\sqrt{1 - x^2}} = $

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$\int \sqrt{x^2-6x-16} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int(x+2) \sqrt{x^2-x+2} \, dx = \frac{1}{3} f(x) + \frac{5}{8} g(x) + \frac{35}{16} h(x) + c$ है, तो $f(-1) + g(-1) + h\left(\frac{1}{2}\right) = $

$\int \frac{2x^2-1+x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2(x^2+4)} dx =$

$\int \frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} \, dx =$

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan^{n-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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