એક કણ કોણીય વેગમાન $L$ સાથે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરી રહ્યો છે. જો ગતિની આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે અને ગતિ ઊર્જા અડધી કરવામાં આવે,તો નવું કોણીય વેગમાન કેટલું થશે?

$L=1 \,m$ લંબાઈના સળિયાનો એક છેડો $R=1 / \sqrt{3} \,m$ ત્રિજ્યાવાળા પૈડાની પરિઘ પરના એક બિંદુએ જડેલો છે. બીજો છેડો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પૈડાના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી સીધી ચેનલ પર મુક્તપણે સરકે છે. પૈડું $O$ ની આસપાસ અચળ કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરે છે. જ્યારે $\theta=60^{\circ}$ હોય,ત્યારે સરકતા છેડા $P$ ની ઝડપ કેટલી હશે?

નીચેના વિધાનો ખરા છે કે ખોટાં તે જણાવો:
$(a)$ જો વર્તુળાકાર માર્ગ પર કોણીય વેગ અચળ હોય,તો રેખીય વેગ પણ અચળ હોય.
$(b)$ પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ સદિશ હંમેશાં પ્રવેગ સદિશને લંબ હોય છે.
$(c)$ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ માટે,તેણે પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $\frac{R}{4}$ છે.
$(d)$ જો $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB$ હોય,તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો શૂન્ય હોય.

નીચેના દરેક વિધાનને ધ્યાનથી વાંચો અને કારણ સાથે જણાવો કે તે સાચું છે કે ખોટું:
$(a)$ વર્તુળાકાર ગતિમાં રહેલા કણનો કુલ પ્રવેગ હંમેશા વર્તુળની ત્રિજ્યાની દિશામાં કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$(b)$ કોઈ બિંદુએ કણનો વેગ સદિશ હંમેશા તે બિંદુએ કણના પથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
$(c)$ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં રહેલા કણનો એક ચક્ર પર સરેરાશ પ્રવેગ સદિશ શૂન્ય સદિશ હોય છે.

$m$ દળનો એક કણ $F$ બળની અસર હેઠળ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $v$ જેટલી રેખીય ઝડપથી ગતિ કરે છે. જો $m, v$ અને $r$ ત્રણેયમાં $50 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો કણને સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે ($\%$ માં)?

એક કણ અવકાશમાં સમીકરણ $\vec{r} = (\sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} + t \hat{k}) \text{ m}$ મુજબ ગતિ કરે છે. જ્યારે સ્થાન સદિશ અને પ્રવેગ સદિશ એકબીજાને લંબ હોય ત્યારે સમય $t$ શોધો.