intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sqrt {sin 2theta | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin 2	heta} \sin 	heta \,d	heta$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કર

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin 2	heta} \sin 	heta \,d	heta$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin 2(\frac{\pi}{2}-	heta)} \sin(\frac{\pi}{2}-	heta) \,d	heta = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin 2	heta} \cos 	heta \,d	heta$. $I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin 2	heta} (\sin 	heta + \cos 	heta) \,d	heta$. કારણ કે $\sin 2	heta = 1 - (\sin 	heta - \cos 	heta)^2$,ધારો કે $t = \sin 	heta - \cos 	heta$. તેથી $dt = (\cos 	heta + \sin 	heta) \,d	heta$. જ્યારે $	heta = 0, t = -1$. જ્યારે $	heta = \frac{\pi}{2}, t = 1$. $2I = \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - t^2} \,dt$. આ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $\frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$ થાય. તેથી,$2I = \frac{\pi}{2} \implies I = \frac{\pi}{4}$.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\sin 2\theta } } \sin \theta \,d\theta$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $x > 0$ માટે,$f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ હોય,તો $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cdot \cos x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{2\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = . . . . . .$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module