ધારો કે [bullet] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) પ્રથમ, આપણે $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx = \int_{0}^{64} x^{1/3} dx - \int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ ની ગણતરી કરીએ. $\int_{0}^{64

Vedclass · Accepted Answer

$36$

Vedclass · Answer

(B) પ્રથમ, આપણે $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx = \int_{0}^{64} x^{1/3} dx - \int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ ની ગણતરી કરીએ. $\int_{0}^{64} x^{1/3} dx = \left[ \frac{3}{4} x^{4/3} ight]_{0}^{64} = \frac{3}{4} 	imes 256 = 192$. $\int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ માટે, આપણે $[x^{1/3}]$ ની કિંમતોના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ: $= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{8} 1 dx + \int_{8}^{27} 2 dx + \int_{27}^{64} 3 dx = 0 + (8-1) + 2(27-8) + 3(64-27) = 7 + 38 + 111 = 156$. આમ, $\alpha = 192 - 156 = 36$. હવે, આપણે $E = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{36\pi} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$ ની કિંમત શોધીએ. વિધેયનો આવર્તમાન $\pi$ હોવાથી, $E = \frac{36}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta = \frac{36 	imes 2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$. ધારો કે $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$. કિંગના ગુણધર્મ મુજબ, $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$. બંનેનો સરવાળો કરતા, $2J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sec^6 	heta}{	an^6 	heta + 1} d	heta$. ધારો કે $	an 	heta = t$, તો $dt = \sec^2 	heta d	heta$. $2J = \int_{0}^{\infty} \frac{(1+t^2)^2}{t^6+1} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1+t^2}{t^4-t^2+1} dt = \pi$. આમ $J = \pi/2$. અંતે, $E = \frac{72}{\pi} 	imes \frac{\pi}{2} = 36$.

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^{2a} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-3}^{3} \frac{x^2 \sin x}{1 + x^6} \, dx = $

$\int_3^5(x-3)^3(5-x)^5 d x=$

ધારો કે $(a, b)$ એ વક્ર $x^2=2y$ અને રેખા $y-2x-6=0$ નું બીજા ચરણમાં છેદબિંદુ છે. તો સંકલન $I=\int_a^b \frac{9x^2}{1+5^x} dx$ ની કિંમત શોધો:

$\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^3}}}{{1 + x + 2{x^2} + 2{x^3} + {x^4} + {x^5}}}} dx$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module