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Question

(C) माना $I = \int\limits_0^\pi  {\frac{{x\cos x}}{{{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}}}} dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग

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(C) माना $I = \int\limits_0^\pi  {\frac{{x\cos x}}{{{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}}}} dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x)\cos(\pi - x)}{(1 + \sin(\pi - x))^2} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x)(-\cos x)}{(1 + \sin x)^2} dx$. $I = -\pi \int_0^\pi \frac{\cos x}{(1 + \sin x)^2} dx + \int_0^\pi \frac{x\cos x}{(1 + \sin x)^2} dx$. $I = -\pi \int_0^\pi \frac{\cos x}{(1 + \sin x)^2} dx + I$. इसका अर्थ है कि $\pi \int_0^\pi \frac{\cos x}{(1 + \sin x)^2} dx = 0$. माना $u = 1 + \sin x$,तो $du = \cos x dx$. जब $x = 0, u = 1$. जब $x = \pi, u = 1$. अतः,$\int_1^1 \frac{1}{u^2} du = 0$. इसलिए,समाकलन का मान $0$ है।

$\int\limits_0^\pi {\frac{{x\cos x}}{{{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि ${I_n} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^n}\theta \,d\theta ,} $ है,तो किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$n({I_{n - 1}} + {I_{n + 1}})$ का मान क्या है?

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