$\int_{\pi / 5}^{3 \pi / 10} \frac{d x}{\sec ^2 x+\left(\tan ^{2022} x-1\right)\left(\sec ^2 x-1\right)}=$

मान लीजिए $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$ एक फलन है जो $f(x) = \sin^2 x$ द्वारा परिभाषित है और मान लीजिए $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ एक फलन है जो $g(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2}$ द्वारा परिभाषित है।
(इस अनुच्छेद पर आधारित दो प्रश्न हैं। नीचे दिए गए प्रश्न वे दो हैं।)
$(1)$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$(2)$ $\frac{16}{\pi^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : R \to R$ एक फलन है,जिसके लिए सभी $x \in R$ के लिए $f(2 - x) = f(2 + x)$ और $f(4 - x) = f(4 + x)$ है। यदि $\int_{0}^{2} f(x) dx = 5$ है,तो $\int_{10}^{50} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\log \frac{1}{2}}^{\log 2} \sin \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) dx=$

$n \in N$ के लिए,यदि $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx = \frac{2}{n-1} \sin(n-1)x + I_{n-2}$ और $\int_0^\pi \frac{\sin nx}{\sin x} dx = \frac{k\pi}{2}$ है,तो $k =$

$\sum_{n=1}^{100} \int_{n-1}^{n} e^{x-[x]} dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से छोटा या उसके बराबर है।