n in N के लिए,यदि I_n = int frac{sin nx}{sin | vedclass

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Question

(B) माना $I_n = \int_0^\pi \frac{\sin nx}{\sin x} dx$. दिए गए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए: $I_n - I_{n-2} = \int_0^\pi \frac{\sin nx - \sin(n-

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$1 - (-1)^n$

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(B) माना $I_n = \int_0^\pi \frac{\sin nx}{\sin x} dx$. दिए गए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए: $I_n - I_{n-2} = \int_0^\pi \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\sin x} dx = \int_0^\pi \frac{2 \cos(n-1)x \sin x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 2 \cos(n-1)x dx$. $n > 1$ के लिए,$I_n - I_{n-2} = \left[ \frac{2 \sin(n-1)x}{n-1} \right]_0^\pi = 0$. अतः,सभी $n > 1$ के लिए $I_n = I_{n-2}$ है। $n=1$ के लिए,$I_1 = \int_0^\pi \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 1 dx = \pi$. $n=2$ के लिए,$I_2 = \int_0^\pi \frac{\sin 2x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 2 \cos x dx = [2 \sin x]_0^\pi = 0$. यदि $n$ विषम है,तो $I_n = I_1 = \pi = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = (1 - (-1)^n) \frac{\pi}{2}$. यदि $n$ सम है,तो $I_n = I_2 = 0 = (1 - (-1)^n) \frac{\pi}{2}$. इसलिए,$k = 1 - (-1)^n$.

$n \in N$ के लिए,यदि $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx = \frac{2}{n-1} \sin(n-1)x + I_{n-2}$ और $\int_0^\pi \frac{\sin nx}{\sin x} dx = \frac{k\pi}{2}$ है,तो $k =$

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