int sqrt{1 + csc x} , dx का मान ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \sqrt{1 + \frac{1}{\sin x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\sin x + 1}{\sin x}} \, dx$. अंश और हर को $\sqrt{1 - \sin x}$ से गुणा करने पर:

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$(A)$ और $(C)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \sqrt{1 + \frac{1}{\sin x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\sin x + 1}{\sin x}} \, dx$. अंश और हर को $\sqrt{1 - \sin x}$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{\sqrt{(1 + \sin x)(1 - \sin x)}}{\sqrt{\sin x(1 - \sin x)}} \, dx = \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x - \sin^2 x}} \, dx$. माना $t = \sin x$,तब $dt = \cos x \, dx$. $I = \int \frac{dt}{\sqrt{t - t^2}} = \int \frac{dt}{\sqrt{\frac{1}{4} - (t^2 - t + \frac{1}{4})}} = \int \frac{dt}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (t - \frac{1}{2})^2}}$. सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करने पर: $I = \sin^{-1}\left(\frac{t - 1/2}{1/2}\right) + c = \sin^{-1}(2t - 1) + c = \sin^{-1}(2 \sin x - 1) + c$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,यह समाकलन $2 \sin^{-1} \sqrt{\sin x} + c$ और $\cos^{-1}(1 - 2 \sin x) + c$ दोनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

$\int \sqrt{1 + \csc x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int \frac{1}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x} dx = \frac{1}{12} \tan^{-1}(3 \tan x) + C$ है,तो $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:

$\int \frac{\cos 2 x \cdot \sin 4 x}{\cos ^4 x(1+\cos ^2 2 x)} d x=$

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