यदि int frac{1}{a^2 sin^2 x + b^2 cos^2 x} dx | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ है।अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \

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$\sqrt{40}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ है।अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 	an^2 x + b^2}$ प्राप्त होता है।माना $u = 	an x$,तब $du = \sec^2 x dx$ होगा।समाकलन $I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$ हो जाता है।सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} 	an^{-1}(\frac{x}{k}) + C$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{a}{b} 	an^{-1}(\frac{u}{b/a}) + C = \frac{1}{ab} 	an^{-1}(\frac{a}{b} 	an x) + C$ प्राप्त होता है।इसे दिए गए व्यंजक $\frac{1}{12} 	an^{-1}(3 	an x) + C$ के साथ तुलना करने पर,$ab = 12$ और $\frac{a}{b} = 3$ प्राप्त होता है।$\frac{a}{b} = 3$ से,$a = 3b$ मिलता है। $ab = 12$ में मान रखने पर,$(3b)b = 12 \implies 3b^2 = 12 \implies b^2 = 4 \implies b = 2$ ($a, b > 0$ मानते हुए)।अतः $a = 3(2) = 6$ है।अब $6 \sin x + 2 \cos x$ का अधिकतम मान $A \sin x + B \cos x$ के सूत्र $\sqrt{A^2 + B^2}$ के अनुसार $\sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$ होगा।

List-$I$	List-$II$
$1. \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx$	$A. \frac{\tan^2 x}{2} + \ln\|\cos x\| + c$
$2. \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx$	$B. \cos x + \sec x + c$
$3. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx$	$C. \frac{\tan^3 x}{3} + c$
$4. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx$	$D. \tan x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$
	$E. \cos x - \sec x + c$

यदि $\int \frac{1}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x} dx = \frac{1}{12} \tan^{-1}(3 \tan x) + C$ है,तो $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $\int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin 2x}} = (\tan x)^A + C(\tan x)^B + K$,जहाँ $K$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $5(A+B+C)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int x^{49} \left[ \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} + \frac{x^{50}}{1 + x^{100}} \right] dx = \frac{x^n}{k} f(x) + c$ है,तो $f(x) - f\left(\sqrt[k]{x^n}\right) =$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+3$,जहाँ $x > 0$ है। तो $18 \int \limits_1^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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