यदि int x^{49} left[ operatorname{Tan}^{-1} x | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int x^{49} \left[ \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} + \frac{x^{50}}{1 + x^{100}} \right] dx$ है। $u = x^{50}$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 5

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$k+n$

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(A) माना $I = \int x^{49} \left[ \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} + \frac{x^{50}}{1 + x^{100}} \right] dx$ है। $u = x^{50}$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 50x^{49} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{49} dx = \frac{du}{50}$। समाकलन $I = \frac{1}{50} \int \left( \operatorname{Tan}^{-1} u + \frac{u}{1 + u^2} \right) du$ बन जाता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \operatorname{Tan}^{-1} u \, du = u \operatorname{Tan}^{-1} u - \int \frac{u}{1 + u^2} du$। यह मान रखने पर,$I = \frac{1}{50} \left( u \operatorname{Tan}^{-1} u - \int \frac{u}{1 + u^2} du + \int \frac{u}{1 + u^2} du \right) = \frac{u \operatorname{Tan}^{-1} u}{50} + c$। $u = x^{50}$ वापस रखने पर,$I = \frac{x^{50}}{50} \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} + c$। इसकी तुलना $\frac{x^n}{k} f(x) + c$ से करने पर,$n = 50$,$k = 50$,और $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1} x^{50}$ प्राप्त होता है। अतः $f\left(\sqrt[k]{x^n}\right) = f\left(\sqrt[50]{x^{50}}\right) = f(x) = \operatorname{Tan}^{-1} x^{50}$। इस प्रकार,$f(x) - f\left(\sqrt[k]{x^n}\right) = \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} - \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} = 0$।

यदि $\int x^{49} \left[ \operatorname{Tan}^{-1} x^{50} + \frac{x^{50}}{1 + x^{100}} \right] dx = \frac{x^n}{k} f(x) + c$ है,तो $f(x) - f\left(\sqrt[k]{x^n}\right) =$ ज्ञात कीजिए।

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