$TP$ અને $TQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો છે. જો જીવા $PQ$ એ નિશ્ચિત બિંદુ $(-a, b)$ માંથી પસાર થતી હોય,તો $T$ નો બિંદુપથ શું છે?

જો $PQ$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની બેવડી કોટિ (double ordinate) હોય,જેથી $\triangle OPQ$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ બને,જ્યાં $O$ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર છે,તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

ધારો કે $PQ$ એ પરવલય $y^{2}=4x$ ની નાભિ જીવા છે જે બિંદુ $(3, 0)$ આગળ $\frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો આંતરે છે. ધારો કે રેખાખંડ $PQ$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$ ની પણ નાભિ જીવા છે. જો $e$ એ ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $\frac{1}{e^{2}}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

કોઈ $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,જો અતિવલય $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 10$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 5$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કરતા $\sqrt{5}$ ગણી હોય,તો ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

જો પરવલય $y^2=3x$ પરના બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક રેખા $x+2y=1$ ને સમાંતર હોય અને ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ પરના બિંદુઓ $Q$ અને $R$ આગળના સ્પર્શકો રેખા $x-y=2$ ને લંબ હોય,તો ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો:

ધારો કે વર્તુળ $C$ રેખા $x - y + 1 = 0$ ને સ્પર્શે છે,તેનું કેન્દ્ર ધન $x$-અક્ષ પર છે,અને રેખા $-3x + 2y = 1$ પર $\frac{4}{\sqrt{13}}$ લંબાઈની જીવા કાપે છે. ધારો કે $H$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ છે,જેની એક નાભિ $C$ નું કેન્દ્ર છે અને પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $C$ નો વ્યાસ છે. તો $2\alpha^2 + 3\beta^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.