ધારો કે વર્તુળ C રેખા x - y + 1 = 0 ને સ્પર્શ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ છે જ્યાં $\alpha > 0$. વર્તુળ રેખા $x - y + 1 = 0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રથી રેખાન

Vedclass · Accepted Answer

$19$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ છે જ્યાં $\alpha > 0$. વર્તુળ રેખા $x - y + 1 = 0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર છે:$r = \left| \frac{\alpha - 0 + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{\alpha + 1}{\sqrt{2}}$તેથી,$r^2 = \frac{(\alpha + 1)^2}{2} \quad \dots(1)$વર્તુળ રેખા $3x - 2y + 1 = 0$ પર $L = \frac{4}{\sqrt{13}}$ લંબાઈની જીવા કાપે છે. કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d$ છે:$d = \left| \frac{3\alpha - 2(0) + 1}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} \right| = \frac{3\alpha + 1}{\sqrt{13}}$સંબંધ $r^2 = d^2 + (L/2)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:$r^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2}{13} + \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right)^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13} \quad \dots(2)$$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:$\frac{(\alpha + 1)^2}{2} = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13}$$13(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 2(9\alpha^2 + 6\alpha + 1 + 4)$$13\alpha^2 + 26\alpha + 13 = 18\alpha^2 + 12\alpha + 10$$5\alpha^2 - 14\alpha - 3 = 0$$(5\alpha + 1)(\alpha - 3) = 0$$\alpha > 0$ હોવાથી,$\alpha = 3$. તેથી $r^2 = \frac{(3 + 1)^2}{2} = 8$,એટલે કે $r = 2\sqrt{2}$.અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિ $(\alpha, 0) = (3, 0)$ છે,તેથી $ae = 3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2r = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી $a = 2\sqrt{2}$ અને $a^2 = 8$.$a^2e^2 = 9$ હોવાથી,$8e^2 = 9$,તેથી $e^2 = \frac{9}{8}$.$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 8(\frac{9}{8} - 1) = 8(\frac{1}{8}) = 1$.આમ,$2a^2 + 3b^2 = 2(8) + 3(1) = 16 + 3 = 19$.

Similar Questions

જો અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ અને ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિઓ એકરૂપ હોય,તો $b^2$ ની કિંમત શોધો.

જો અતિવલય $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ નો સ્પર્શક એ પરવલય $y^2 = 8x$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો ધન ઢાળ ધરાવતા આવા સ્પર્શકનું સમીકરણ શું થાય?

જો પરવલય $y^2 = 4ax$ નો અભિલંબ તેના અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે,તો તે વક્રને ફરીથી કયા ખૂણે છેદશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module