माना वृत्त $C$ रेखा $x - y + 1 = 0$ को स्पर्श करता है,इसका केंद्र धनात्मक $x$-अक्ष पर है,और यह रेखा $-3x + 2y = 1$ पर $\frac{4}{\sqrt{13}}$ लंबाई की जीवा काटता है। माना $H$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ है,जिसकी एक नाभि $C$ का केंद्र है और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $C$ का व्यास है। तो $2\alpha^2 + 3\beta^2$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $F_1(-1, 0)$ और $F_2(1, 0)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ हैं। मान लीजिए कि एक परवलय जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है और नाभि $F_2$ पर है,दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश में बिंदु $N$ पर काटता है।
$(1)$ त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेंद्र है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ यदि $M$ और $N$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएँ $R$ पर मिलती हैं और $M$ पर परवलय का अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है,तो त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात है
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$

$TP$ और $TQ$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि जीवा $PQ$ स्थिर बिंदु $(-a, b)$ से होकर गुजरती है,तो $T$ का बिंदुपथ क्या है?

एक वृत्त का केंद्र एक दीर्घवृत्त के केंद्र के समान है और यह दीर्घवृत्त की नाभियों $F_1$ और $F_2$ से होकर गुजरता है,जिससे दोनों वक्र $4$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $P$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से कोई एक है। यदि दीर्घवृत्त की मुख्य अक्ष की लंबाई $17$ है और त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $30$ है,तो नाभियों के बीच की दूरी क्या है?

दीर्घवृत्त $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right]$ के लिए,बिंदु $(x, y) = \left(3 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right), 2 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ समीकरण $xy+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ पर स्थित हैं,तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए: