यदि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right]$ के लिए,बिंदु $(x, y) = \left(3 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right), 2 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ समीकरण $xy+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ पर स्थित हैं,तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

वक्रों $x^2-y^2=4$ और $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

परवलय $y^2 = 4ax$ के शीर्ष $O$ से दो जीवाएँ $OP$ और $OQ$ खींची जाती हैं,और $OP$ तथा $OQ$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त $R$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\theta_1, \theta_2$ और $\phi$ क्रमशः परवलय पर $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं और $OR$ द्वारा अक्ष के साथ बनाए गए कोण हैं,तो $\cot \theta_1 + \cot \theta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक वृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र परवलय $y^2 = 2px$ की नाभि पर स्थित है और यह परवलय की नियता (directrix) को स्पर्श करता है। तब,वृत्त और परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु है

$A$ क्षेत्रफल वाला त्रिभुज $PQR$ परवलय $y^2 = 4ax$ में इस प्रकार अंकित है कि शीर्ष $P$ परवलय के शीर्ष पर स्थित है और आधार $QR$ एक नाभिलंब जीवा है। बिंदुओं $Q$ और $R$ के कोटियों के अंतर का मापांक क्या है?

$|z - (4 + 3i)| = 2$ और $|z| + |z - 4| = 6$,$z \in \mathbb{C}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या क्या है?