જો $\theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right]$ માટે,બિંદુઓ $(x, y) = \left(3 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right), 2 \tan \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ એ $xy+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ પર આવેલા હોય,તો $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $m$ એ વક્રો $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=12$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ હોય,તો $12\; m^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ અને પરવલય $P: y^2=12x$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો છે. ધારો કે સ્પર્શક $T_1$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_1$ અને $A_2$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને સ્પર્શક $T_2$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_4$ અને $A_3$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $35$ ચોરસ એકમ છે.
$(B)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $36$ ચોરસ એકમ છે.
$(C)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-3,0)$ બિંદુએ મળે છે.
$(D)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-6,0)$ બિંદુએ મળે છે.

પરવલય $y^2 = 4x$ પરનું/ના બિંદુ(ઓ) જે વર્તુળ $x^2 + y^2 - 24y + 128 = 0$ ની સૌથી નજીક છે તે કયું/કયા છે?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ હોય,તો $b^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $e_{1}$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (જ્યાં $a > b$) ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય અને $e_{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}$ ની કિંમત શોધો.