જો ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ હોય,તો $b^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a, b$ અને $\lambda$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $P$ એ પરવલય $y^2 = 4 \lambda x$ ના નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ છે,અને ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એ બિંદુ $P$ માંથી પસાર થાય છે. જો બિંદુ $P$ આગળ પરવલય અને ઉપવલયના સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

બે વક્રોના કુળ $y^2=4ax$ ($a$ એ પ્રાચલ છે) અને $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ ($c$ એ પ્રાચલ છે) ધ્યાનમાં લો. જો દરેક કુળમાંથી એક વક્ર પસંદ કરવામાં આવે, તો તે બે વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

ધારો કે વક્ર $y^2 = 24x$ નો સ્પર્શક વક્ર $xy = 2$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં મળે છે. તો આવા રેખાખંડો $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ જે પરવલય પર આવેલા છે તેની

$C$ એ $(0, 1)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $P$ એ પરવલય $y = ax^2$ છે. $a$ ના જે મૂલ્યો માટે તેઓ ઉગમબિંદુ સિવાયના બિંદુએ મળે છે,તે ગણ છે

એક દ્વિઘાત બહુપદી $y = f(x)$ જેનું અચળ પદ $3$ છે,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતી નથી કે છેદતી નથી અને રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. બહુપદીના અગ્ર સહગુણકનું મૂલ્ય એક છે. કાર્તેઝિયન લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ $OXY$ માં પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y = f(x)$ પર બિંદુ $A(x_1, y_1)$ જેનો $x$-યામ $x_1 = 1$ છે અને બિંદુ $B(x_2, y_2)$ જેનો $y$-યામ $y_2 = 11$ છે,આપેલા છે,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. સદિશો $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ નો અદિશ ગુણાકાર શોધો.