left[ int_{0}^{2} sqrt{x + sqrt{x + sqrt{x + | vedclass

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Question

(A) माना $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots \infty}}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = x + y$,जिसका अर्थ है $y^2 - y - x = 0$.द्विघात सूत्र

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$3$

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(A) माना $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots \infty}}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = x + y$,जिसका अर्थ है $y^2 - y - x = 0$.द्विघात सूत्र का उपयोग करके $y$ के लिए हल करने पर,$y = \frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}$ (चूंकि $y > 0$).अब,हमें $I = \int_{0}^{2} \frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (1 + 4x)^{1/2} \, dx$.$I = \frac{1}{2} [x]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \left[ \frac{(1 + 4x)^{3/2}}{3/2 \cdot 4} \right]_{0}^{2}$.$I = \frac{1}{2} (2) + \frac{1}{12} [(1 + 8)^{3/2} - (1 + 0)^{3/2}]$.$I = 1 + \frac{1}{12} [27 - 1] = 1 + \frac{26}{12} = 1 + \frac{13}{6} = \frac{19}{6} \approx 3.166$.महत्तम पूर्णांक फलन $[I] = [3.166] = 3$.

$\left[ \int_{0}^{2} \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots \infty}}} \, dx \right]$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[\cdot]$ $G.I.F.$ है)

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