$f(x) = \left[ \frac{x^2 + 1}{x^2[|x|] + 1} \right]$ कहाँ असतत (discontinuous) है? (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 5x \tan kx}{x^2} & , x \neq 0 \\ 1 & , x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है,तो $k$ का मान . . . . . . है। $(\because k \neq 0)$

मान लीजिए $f, g: R \to R$ दो फलन हैं जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \left( \frac{1}{x} \right), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ और $g(x) = x f(x)$ द्वारा परिभाषित हैं।
कथन $I$: $f$,$x = 0$ पर एक सतत फलन है।
कथन $II$: $g$,$x = 0$ पर एक अवकलनीय फलन है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\sin^3 x}{3 \cos^2 x}, & x < \frac{\pi}{2} \\ \alpha, & x = \frac{\pi}{2} \\ \frac{\beta(1-\sin x)}{(\pi-2 x)^2}, & x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $\alpha \beta =$

$f: R \to R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos 4x}{x^2}, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित करें। तो $x = 0$ पर $f$ के सतत होने के लिए $a$ का मान है:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x-4}{|x-4|} + a, & x < 4 \\ a + b, & x = 4 \\ \frac{x-4}{|x-4|} + b, & x > 4 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन $x = 4$ पर संतत है,यदि $a$ और $b$ के मान हैं: