એક સુથારે બાજુની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક રમકડું બનાવ્યું છે. જો ગોળાના દ્રવ્યની ઘનતા શંકુની ઘનતા કરતા $12$ ગણી હોય,તો રમકડાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન શોધો.

'$a$' વ્યાસ ધરાવતી એક વર્તુળાકાર પ્લેટને '$a$' બાજુ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સંપર્કમાં રાખવામાં આવી છે. પદાર્થની ઘનતા અને જાડાઈ દરેક જગ્યાએ સમાન છે. સંયુક્ત તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ........... હશે.

$a$ બાજુવાળી એક સમાન ચોરસ પ્લેટમાંથી આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $a/2$ બાજુવાળો ચોરસ કાપવામાં આવ્યો છે. આ કાણું પ્લેટના કેન્દ્રથી $(a/4, a/4)$ પર કેન્દ્રિત છે. બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધો.

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાના એક સમાન ગોળા (કેન્દ્ર $C$ પર) માંથી $1$ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર પોલાણ (કેન્દ્ર $O$ પર) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલા (છાયાંકિત) ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $G$ પર છે,એટલે કે,પોલાણની સપાટી પર છે. $R$ ને નીચેના સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમાન પ્લેટના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન શોધો.

$2 \,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમાન વર્તુળાકાર તકતી (જેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ પર છે) માંથી $1 \,cm$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર ભાગ એવી રીતે દૂર કરવામાં આવે છે કે જેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર મહત્તમ થાય. હવે આ તકતીને તેના સમતલને લંબ અને $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષ પર $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. જો નવા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $\frac{1}{\sqrt{3}} \,cm$ હોય, તો $\theta$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)