एक वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के एक बिंदु पर और दीर्घ चाप के एक बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।

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(A) माना जीवा $AB$ है और वृत्त का केंद्र $O$ है। चूँकि जीवा $AB$ वृत्त की त्रिज्या के बराबर है,इसलिए $OA = OB = AB$ है।
अतः,$\Delta AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
चूँकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle AOB = 60^{\circ}$ है।
जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित प्रतिवर्ती कोण $\text{reflex } \angle AOB = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ है।
लघु चाप पर स्थित बिंदु $C$ पर जीवा द्वारा अंतरित कोण केंद्र पर अंतरित प्रतिवर्ती कोण का आधा होता है: $\angle ACB = \frac{1}{2} \times 300^{\circ} = 150^{\circ}$।
दीर्घ चाप पर स्थित बिंदु $D$ पर जीवा द्वारा अंतरित कोण केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है: $\angle ADB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,लघु चाप पर अंतरित कोण $150^{\circ}$ है और दीर्घ चाप पर अंतरित कोण $30^{\circ}$ है।

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एक त्रिभुज $ABC$ के कोणों $A, B$ और $C$ के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज $DEF$ के कोण $90^{\circ} - \frac{1}{2}A, 90^{\circ} - \frac{1}{2}B$ और $90^{\circ} - \frac{1}{2}C$ हैं।

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एक वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{2} \text{ cm}$ है। यह $2 \text{ cm}$ लंबाई की एक जीवा द्वारा दो वृत्तखंडों में विभाजित होता है। सिद्ध कीजिए कि दीर्घ वृत्तखंड में स्थित किसी बिंदु पर जीवा द्वारा अंतरित कोण $45^{\circ}$ है।

Difficult
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$P$ केंद्र वाले एक वृत्त में,$AB$ एक जीवा है और बिंदु $C$,दीर्घ चाप $AB$ पर $A$ और $B$ के अलावा एक बिंदु है। यदि $\angle ACB + \angle APB = 150^{\circ}$ है,तो $\angle APB$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)

केंद्र $P$ वाले एक वृत्त में,त्रिज्या की लंबाई $\sqrt{2} \ cm$ है। यह $2 \ cm$ लंबाई की जीवा $AB$ द्वारा दो वृत्तखंडों में विभाजित होता है। यदि $C$ दीर्घ चाप $AB$ पर स्थित कोई बिंदु है,तो $\angle ACB$ का मान ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)

सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
एक वृत्त की जीवा द्वारा किन्हीं भी दो बिंदुओं पर अंतरित कोण बराबर होते हैं।

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