$3$ प्रशिक्षुओं,$4$ प्रोफेसरों और $6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में सभी $4$ प्रोफेसर और $1$ अनुसंधान सहयोगी या सभी $3$ प्रशिक्षु और $2$ प्रोफेसर होने चाहिए,तो यह कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

एक क्लब में $6$ पुरुष और $8$ महिलाएँ हैं,जिनमें से $5$ लोगों की एक समिति बनानी है। यदि किसी भी पुरुष का चयन नहीं किया जाता है,तो $5$ लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या होगी?

तीन बक्सों पर विचार करें,जिनमें से प्रत्येक में $1, 2, dots, 10$ लेबल वाले $10$ गेंदें हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक बक्से से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। $i^{th}$ बक्से से निकाली गई गेंद के लेबल को $n_i$ द्वारा दर्शाएं,$(i = 1, 2, 3)$। तो,गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या है ताकि $n_1 < n_2 < n_3$ हो?

$0, 2, 3, 6, 8$ अंकों का उपयोग करके कितनी $3$-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि अंकों को कितनी भी बार दोहराया जा सकता है?

$5$ प्रतियोगियों को प्रथम,द्वितीय और तृतीय पुरस्कार कितने तरीकों से दिए जा सकते हैं?

$5$ सेब,$4$ आम,$3$ संतरे और $2$ अन्य प्रकार के फलों में से प्रत्येक का $1$ फल है। प्रत्येक प्रकार का कम से कम एक फल चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?