R त्रिज्या और एकसमान धनात्मक आवेश घनत्व sigma | vedclass

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Question

(A) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(z) = qV(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z)$ है।बाह्य बल $\vec{F} = -c\hat{k}$ है,इसलिए इस बल के कारण स्थि

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$A, B, C$

Vedclass · Answer

(A) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(z) = qV(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z)$ है।बाह्य बल $\vec{F} = -c\hat{k}$ है,इसलिए इस बल के कारण स्थितिज ऊर्जा $U_{ext}(z) = cz$ है।कुल स्थितिज ऊर्जा $U_{total}(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z) + cz$ है।$\beta = \frac{2c\epsilon_0}{q\sigma}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{\beta q\sigma}{2\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।अतः,$U_{total}(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z + \beta z)$ है।कण के मूल बिंदु तक पहुँचने के लिए,$z_0$ पर कुल ऊर्जा $z=0$ पर स्थितिज ऊर्जा से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए। कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $E = U_{total}(z_0)$ है।$U_{total}(z_0) \ge U_{total}(0) \implies \sqrt{R^2+z_0^2} - z_0 + \beta z_0 \ge R$।$(A)$ के लिए: $\beta = 1/4, z_0 = 25/7 R$। गणना करने पर $1.04 R > R$ प्राप्त होता है,इसलिए कण मूल बिंदु तक पहुँचता है।$(B)$ के लिए: $\beta = 1/4, z_0 = 3/7 R$। गणना करने पर $0.759 R $(C)$ के लिए: $z_0 = R/\sqrt{3}$ पर,$U_{total}(z_0) > R$ प्राप्त होता है,इसलिए यह मूल बिंदु को पार कर जाएगा।सही विकल्प $(A)$ है।

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