एक फलन y = f(x) समीकरण (x + 1) f'(x) - 2(x^2 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + 1) f'(x) - 2x(x + 1) f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$.$(x + 1)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x > -1$): $f'(x) - 2x f(x) = \

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$\left( \frac{6x + 5}{x + 1} \right) e^{x^2}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + 1) f'(x) - 2x(x + 1) f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$.$(x + 1)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x > -1$): $f'(x) - 2x f(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2}$.यह $f'(x) + P(x) f(x) = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -2x$ और $Q(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -2x dx} = e^{-x^2}$.समीकरण को $IF$ से गुणा करने पर: $e^{-x^2} f'(x) - 2x e^{-x^2} f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$.इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dx} [f(x) e^{-x^2}] = \frac{1}{(x + 1)^2}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) e^{-x^2} = \int \frac{1}{(x + 1)^2} dx = -\frac{1}{x + 1} + C$.दिया गया है $f(0) = 5$: $5 e^0 = -\frac{1}{0 + 1} + C \implies 5 = -1 + C \implies C = 6$.अतः,$f(x) e^{-x^2} = 6 - \frac{1}{x + 1} = \frac{6(x + 1) - 1}{x + 1} = \frac{6x + 5}{x + 1}$.इसलिए,$f(x) = \left( \frac{6x + 5}{x + 1} \right) e^{x^2}$.

एक फलन $y = f(x)$ समीकरण $(x + 1) f'(x) - 2(x^2 + x) f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x > -1$ है। यदि $f(0) = 5$ है,तो $f(x)$ क्या है?

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