एक व्यक्ति के $10$ मित्र हैं। वह उनमें से एक या अधिक को पार्टी में कितने तरीकों से आमंत्रित कर सकता है?

गणित की परीक्षा में,समान अंकों के $20$ प्रश्न हैं। प्रश्न पत्र को तीन खंडों में विभाजित किया गया है: $A, B$ और $C$। एक छात्र को कुल $15$ प्रश्नों का प्रयास करना आवश्यक है,जिसमें प्रत्येक खंड से कम से कम $4$ प्रश्न लेने हैं। यदि खंड $A$ में $8$ प्रश्न,खंड $B$ में $6$ प्रश्न और खंड $C$ में $6$ प्रश्न हैं,तो एक छात्र द्वारा $15$ प्रश्नों का चयन करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

$8$ सज्जनों और $4$ महिलाओं में से $6$ सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि समिति में कम से कम $3$ महिलाएं हों,तो यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

$UNIVERSE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके,बिना पुनरावृत्ति के,$2$ स्वरों और $2$ व्यंजनों वाले $4$ अक्षरों के कितने शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जा सकते हैं?

यदि $^nC_{r-1} = 36$,$^nC_r = 84$ और $^nC_{r+1} = 126$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3 = $