$V_0$ चाल से एक सीधी रेखा में दूर से आ रहा $m$ द्रव्यमान का एक पिंड,जब $M$ द्रव्यमान वाले ब्लैक होल के पास से गुजरता है,तो वह विक्षेपित हो जाता है। ब्लैक होल मूल उड़ान पथ से $R$ लंबवत दूरी पर है। पिंड और ब्लैक होल के बीच निकटतम पहुंच की दूरी $a$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

  • A
    $a = R\left(1 + \frac{2GM}{aV_0^2}\right)^{1/2}$
  • B
    $a = R\left(1 + \frac{aV_0^2}{2GM}\right)^{1/2}$
  • C
    $a = R\left(1 + \frac{GM}{2aV_0^2}\right)^{-1/2}$
  • D
    $a = R\left(1 + \frac{2GM}{aV_0^2}\right)^{-1/2}$

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बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(a)$ पृथ्वी की सतह से ऊपर जाने पर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता बढ़ती है।
$(b)$ चंद्रमा पर पलायन वेग कम होने के कारण वहाँ वायुमंडल नहीं है।
$(c)$ पृथ्वी की परिक्रमा करने वाला उपग्रह भारहीनता की स्थिति में होता है।

एक सर्पिल आकाशगंगा को $z=0$ पर स्थित समान सतह द्रव्यमान घनत्व वाली एक अत्यंत पतली डिस्क के रूप में माना जा सकता है। दो तारे $A$ और $B$ क्रमशः $2z_{0}$ और $z_{0}$ (जहाँ $z_{0} \ll$ डिस्क का त्रिज्यीय विस्तार) की ऊँचाई से विरामावस्था से शुरू करते हैं और डिस्क की ओर गिरते हैं,दूसरी तरफ पार करते हैं और आवर्ती दोलन करते हैं। $A$ और $B$ के आवर्तकालों का अनुपात है

$M$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाले गोले द्वारा $m$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाली रिंग पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल क्या है,जहाँ रिंग के केंद्र और गोले के केंद्र के बीच की दूरी $r = 1.73a = \sqrt{3}a$ है?

Difficult
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चार कण,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $M$ है और एक-दूसरे से समान दूरी पर हैं,$R$ त्रिज्या के एक वृत्त के अनुदिश अपने पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में गति कर रहे हैं। प्रत्येक कण की चाल है

$m \; kg$ के तीन समान द्रव्यमान एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों पर स्थित हैं।
$(a)$ त्रिभुज के केंद्रक $G$ पर रखे $2 \; m$ द्रव्यमान पर लगने वाला बल क्या है?
$(b)$ यदि शीर्ष $A$ पर द्रव्यमान को दोगुना कर दिया जाए,तो बल क्या होगा?
$AG = BG = CG = 1 \; m$ लें।

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