m द्रव्यमान का एक कण M (gg m) द्रव्यमान वाले | vedclass

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Question

(A) प्रारंभिक वृत्ताकार कक्षा के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $F_0 = \frac{GMm}{r_0^2} = m \omega_0^2 r_0$,जहाँ $\omega_0 = \fra

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$\frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$

Vedclass · Answer

(A) प्रारंभिक वृत्ताकार कक्षा के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $F_0 = \frac{GMm}{r_0^2} = m \omega_0^2 r_0$,जहाँ $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$.अतः,$\omega_0^2 = \frac{GM}{r_0^3}$.जब अतिरिक्त विभव $V_c(r) = \frac{m \alpha}{r^3}$ पेश किया जाता है,तो अतिरिक्त बल $F_c = -\frac{dV_c}{dr} = -\frac{d}{dr} (m \alpha r^{-3}) = 3m \alpha r^{-4}$ होता है।कण पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{total} = \frac{GMm}{r_0^2} + \frac{3m \alpha}{r_0^4} = m \omega_1^2 r_0$ है,जहाँ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$.$m r_0$ से विभाजित करने पर,हमें $\omega_1^2 = \frac{GM}{r_0^3} + \frac{3 \alpha}{r_0^5}$ प्राप्त होता है।चूंकि $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$,इसलिए $\frac{4\pi^2}{T_1^2} = \frac{GM}{r_0^3} + \frac{3 \alpha}{r_0^5} = \frac{GM}{r_0^3} \left( 1 + \frac{3 \alpha}{G M r_0^2} \right)$.$\frac{4\pi^2}{T_0^2} = \frac{GM}{r_0^3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{T_1^2} = \frac{1}{T_0^2} \left( 1 + \frac{3 \alpha}{G M r_0^2} \right)$ प्राप्त होता है।पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{T_0^2}{T_1^2} = 1 + \frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$.अतः,$1 - \frac{T_0^2}{T_1^2} = -\frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{T_1^2 - T_0^2}{T_1^2} = \frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$.

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