एक वृत्त के त्रिज्यखंड के आकार के कागज के टुकड़े (देखें $Fig. 1$) को मोड़कर एक लंबवृत्तीय शंकु (देखें $Fig. 2$) बनाया जाता है। कोण $\theta$ का मान है

$(a, b)$ से गुजरने वाले और वृत्त $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ को लंबकोणीय रूप से काटने वाले वृत्तों के केंद्र का बिंदुपथ है

सरल रेखाओं $tx - 2y - 3t = 0$ और $x - 2ty + 3 = 0$ $(t \in R)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है

$(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ और $(1, 0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज के केंद्रक का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए (जहाँ $\theta$ एक प्राचल है)।

मान लीजिए $ABCD$ और $AEFG$ क्रमशः $4$ और $2$ इकाई भुजा वाले वर्ग हैं। बिंदु $E$ रेखाखंड $AB$ पर है और बिंदु $F$ विकर्ण $AC$ पर है। तो बिंदु $F$ से गुजरने वाले और रेखाखंडों $BC$ और $CD$ को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या $r$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करती है:

एक चर वृत्त एक स्थिर बिंदु $A(p, q)$ से गुजरता है और $x$-अक्ष को स्पर्श करता है। $A$ से गुजरने वाले व्यास के दूसरे सिरे का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।