एक बिंदु P इस प्रकार गति करता है कि मानक परवल | vedclass

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Question

(A) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है। परवलय के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है। यदि अभिलंब $P(h, k)$ से गुजरता है,तो $k = mh - 2am - am^3$,जो $am^3

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एक सीधी रेखा

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(A) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है। परवलय के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है। यदि अभिलंब $P(h, k)$ से गुजरता है,तो $k = mh - 2am - am^3$,जो $am^3 + (2a - h)m + k = 0$ में सरल हो जाता है। माना इस त्रिघात समीकरण के मूल $m_1, m_2, m_3$ हैं। ये तीन अभिलंबों की प्रवणताएँ दर्शाते हैं। ये अभिलंब परवलय की अक्ष ($x$-अक्ष) के साथ $	heta_1, 	heta_2, 	heta_3$ कोण बनाते हैं,जहाँ $	an 	heta_i = m_i$ है। कोणों का योग $	heta_1 + 	heta_2 + 	heta_3 = C$ (अचर) है। दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$	an(	heta_1 + 	heta_2 + 	heta_3) = 	an C$। सर्वसमिका $	an(	heta_1 + 	heta_2 + 	heta_3) = \frac{S_1 - S_3}{1 - S_2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $S_1 = \sum m_i = 0$,$S_2 = \sum m_i m_j = \frac{2a - h}{a}$,और $S_3 = m_1 m_2 m_3 = -\frac{k}{a}$ है। इन मानों को रखने पर,$\frac{0 - (-k/a)}{1 - (2a - h)/a} = 	an C$। यह $\frac{k}{h - a} = 	an C$ में सरल हो जाता है। अतः,$k = (h - a) 	an C$,जो $(a, 0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

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