$L$ लंबाई की एक कठोर एकसमान छड़ $AB$ घर्षण रहित फर्श पर अपनी ऊर्ध्वाधर स्थिति से फिसल रही है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। किसी क्षण,छड़ द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है। इसकी गति के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$[A]$ छड़ का मध्य बिंदु ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर गिरेगा
$[B]$ बिंदु $A$ का प्रक्षेप पथ एक परवलय है
$[C]$ फर्श के संपर्क बिंदु के परितः तात्क्षणिक बलाघूर्ण $\sin \theta$ के समानुपाती है
$[D]$ जब छड़ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो प्रारंभिक स्थिति से इसके मध्य बिंदु का विस्थापन $(1-\cos \theta)$ के समानुपाती होता है

$2 \ kg$ द्रव्यमान और $1 \ m$ त्रिज्या वाली एक पतली रिंग $1 \ m/s$ के वेग से क्षैतिज तल पर बिना फिसले लुढ़क रही है। $1 \ kg$ द्रव्यमान की एक छोटी गेंद,जो विपरीत दिशा में $2 \ m/s$ के वेग से चल रही है,$1.8 \ m$ की ऊँचाई पर रिंग से टकराती है और $1 \ m/s$ के वेग से लंबवत ऊपर की ओर जाती है। टक्कर के तुरंत बाद:
$(A)$ रिंग अपने स्थिर $CM$ के परितः शुद्ध घूर्णन करती है।
$(B)$ रिंग पूरी तरह से रुक जाती है।
$(C)$ रिंग और जमीन के बीच घर्षण बाईं ओर है।
$(D)$ रिंग और जमीन के बीच कोई घर्षण नहीं है।

एक समान डिस्क पर $F$ परिमाण के दो समान बल कार्य करते हैं। उनमें से एक डिस्क के स्पर्शरेखीय कार्य करता है,जबकि दूसरा डिस्क के केंद्र बिंदु पर कार्य करता है। डिस्क की सतह और जमीन की सतह के बीच घर्षण $nF$ है। यदि $r$ डिस्क की त्रिज्या है,तो $n$ का मान क्या होगा?

हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम के बोहर सिद्धांत की मुख्य विशेषता कोणीय संवेग का क्वांटमीकरण है जब एक इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन के चारों ओर घूम रहा होता है। हम इसे एक द्वि-परमाणुक अणु के लिए सामान्य घूर्णन गति तक विस्तारित करेंगे,इसे दृढ़ मानते हुए। लागू किया जाने वाला नियम बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति है।
$1.$ एक द्वि-परमाणुक अणु का जड़त्व आघूर्ण $I$ है। बोहर की क्वांटमीकरण स्थिति के अनुसार,$n$-वें स्तर $(n=1, 2, 3, \dots)$ में इसकी घूर्णन ऊर्जा है:
$(A) \frac{1}{n^2}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(B) \frac{1}{n}\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(C) n\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$ $(D) n^2\left(\frac{h^2}{8 \pi^2 I}\right)$
$2.$ यह पाया गया है कि $CO$ अणु के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ तक घूर्णन की उत्तेजना आवृत्ति $\frac{4}{\pi} \times 10^{11} \text{ Hz}$ के करीब है। तो इसके द्रव्यमान केंद्र के परितः $CO$ अणु का जड़त्व आघूर्ण कितना होगा? ($h=2 \pi \times 10^{-34} \text{ Js}$ लें)
$(A) 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(B) 1.87 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ $(C) 4.67 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$ $(D) 1.17 \times 10^{-47} \text{ kg m}^2$
$3.$ $CO$ अणु में,$C$ (द्रव्यमान $= 12 \text{ a.m.u.}$) और $O$ (द्रव्यमान $= 16 \text{ a.m.u.}$) के बीच की दूरी,जहाँ $1 \text{ a.m.u.} = \frac{5}{3} \times 10^{-27} \text{ kg}$ है,कितनी होगी?
$(A) 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(B) 1.9 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(C) 1.3 \times 10^{-10} \text{ m}$ $(D) 4.4 \times 10^{-11} \text{ m}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

$r$ त्रिज्या और $m$ द्रव्यमान का एक हूप (छल्ला) जो $\omega_0$ कोणीय वेग से घूम रहा है,उसे एक खुरदरी क्षैतिज सतह पर रखा जाता है। हूप के केंद्र का प्रारंभिक वेग शून्य है। जब यह फिसलना बंद कर देता है,तो हूप के केंद्र का वेग क्या होगा?

चित्र में दिखाए अनुसार $xy$ समतल में स्थित नगण्य द्रव्यमान के फ्रेम के कोनों पर चार बिंदु द्रव्यमान जड़े हुए हैं। मान लीजिए $\omega$ घूर्णन की कोणीय गति है। तो: