$5.25 \times 10^{-2} \; J \, T^{-1}$ જેટલી ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા એક ટૂંકા ગજિયા ચુંબકને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાને લંબ રહે તે રીતે મૂકવામાં આવે છે. ચુંબકના કેન્દ્રથી કેટલા અંતરે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવશે,જ્યારે તે બિંદુ
$(a)$ તેની વિષુવરેખા પર હોય અને
$(b)$ તેની અક્ષ પર હોય.
આ સ્થળે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $0.42 \; G$ છે. ચુંબકની લંબાઈને અંતરની સરખામણીમાં અવગણો.

(A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ,$M = 5.25 \times 10^{-2} \; J \, T^{-1}$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,$H = 0.42 \; G = 0.42 \times 10^{-4} \; T$.
$(a)$ વિષુવરેખા પર $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi R^{3}}$ છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ક્ષેત્ર સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે તે માટે $B = H$ થવું જોઈએ.
$\frac{\mu_{0} M}{4 \pi R^{3}} = H \implies R^{3} = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi H} = \frac{10^{-7} \times 5.25 \times 10^{-2}}{0.42 \times 10^{-4}} = 12.5 \times 10^{-5} \; m^{3}$.
$R = (125 \times 10^{-6})^{1/3} \approx 0.05 \; m = 5 \; cm$.
$(b)$ અક્ષ પર $R'$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{\mu_{0} 2 M}{4 \pi R'^{3}}$ છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ક્ષેત્ર સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે તે માટે $B' = H$ થવું જોઈએ.
$\frac{\mu_{0} 2 M}{4 \pi R'^{3}} = H \implies R'^{3} = \frac{2 \mu_{0} M}{4 \pi H} = 2 \times R^{3} = 25 \times 10^{-5} \; m^{3}$.
$R' = (250 \times 10^{-6})^{1/3} \approx 0.063 \; m = 6.3 \; cm$.