2 , rad , s^{-1} की कोणीय आवृत्ति वाले एक सरल | vedclass

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Question

(C) बलित आवर्त दोलक के लिए गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + m \omega^2 x = F(t)$ है।यहाँ $\omega = 2 \, rad \, s^{-1}$ और $F(t) = \sin(t)$ दिया गय

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$\sin(t) - \frac{1}{2} \sin(2t)$

Vedclass · Answer

(C) बलित आवर्त दोलक के लिए गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + m \omega^2 x = F(t)$ है।यहाँ $\omega = 2 \, rad \, s^{-1}$ और $F(t) = \sin(t)$ दिया गया है,इसलिए $\frac{d^2x}{dt^2} + 4x = \frac{1}{m} \sin(t)$.समानुपातिकता के लिए $m = 1$ लेने पर,विशिष्ट हल $x_p = A \sin(t)$ के रूप में मिलता है।अवकल समीकरण में रखने पर: $-A \sin(t) + 4A \sin(t) = \sin(t) \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = 1/3$.प्रारंभिक स्थितियों $x(0) = 0$ और $v(0) = 0$ को ध्यान में रखते हुए,सामान्य हल $x(t) = c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t) + \frac{1}{3} \sin(t)$ है।$x(0) = 0$ रखने पर $c_1 = 0$ प्राप्त होता है।$v(0) = 0$ रखने पर $v(t) = 2c_2 \cos(2t) + \frac{1}{3} \cos(t) \Rightarrow 2c_2 + 1/3 = 0 \Rightarrow c_2 = -1/6$.अतः,$x(t) = \frac{1}{3} \sin(t) - \frac{1}{6} \sin(2t) = \frac{1}{3} (\sin(t) - \frac{1}{2} \sin(2t))$.इसलिए,स्थिति $\sin(t) - \frac{1}{2} \sin(2t)$ के समानुपाती है।

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