एक ठोस बेलन $30^{\circ}$ के झुकाव वाले नत समतल पर ऊपर की ओर लुढ़कता है। नत समतल के निचले सिरे पर बेलन के द्रव्यमान केंद्र की चाल $5 \; m/s$ है।
$(a)$ बेलन नत समतल पर कितनी दूर तक ऊपर जाएगा?
$(b)$ इसे वापस नीचे आने में कितना समय लगेगा?

(N/A) नत समतल पर ऊपर की ओर लुढ़कते हुए एक ठोस बेलन को चित्र में दर्शाया गया है।
ठोस बेलन का प्रारंभिक वेग,$v = 5 \; m/s$.
झुकाव का कोण,$\theta = 30^{\circ}$.
$(a)$ मान लीजिए कि बेलन द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ है।
निचले सिरे पर कुल ऊर्जा = स्थानांतरण गतिज ऊर्जा + घूर्णन गतिज ऊर्जा
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = \frac{1}{2}mr^2$ और $v = r\omega$,हमें प्राप्त होता है:
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
अधिकतम ऊँचाई पर,बेलन क्षणिक रूप से स्थिर हो जाता है,इसलिए कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा है:
$E_{top} = mgh$
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$\frac{3}{4}mv^2 = mgh$
$h = \frac{3v^2}{4g} = \frac{3 \times 5^2}{4 \times 9.8} = \frac{75}{39.2} \approx 1.91 \; m$
समतल पर तय की गई दूरी,$d = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.91}{0.5} = 3.82 \; m$.
$(b)$ नत समतल पर नीचे की ओर लुढ़कते हुए पिंड का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2}$ होता है।
ठोस बेलन के लिए,$K^2/R^2 = 1/2$,इसलिए $a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + 0.5} = \frac{g(0.5)}{1.5} = \frac{g}{3} = \frac{9.8}{3} \approx 3.27 \; m/s^2$.
$d = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,वापस आने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.82}{3.27}} = \sqrt{2.337} \approx 1.53 \; s$.