એક નક્કર નળાકાર $30^{\circ}$ ના ઢાળવાળા સમતલ પર ઉપર તરફ ગબડે છે. ઢાળના તળિયે નળાકારના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $5 \; m/s$ છે.
$(a)$ નળાકાર ઢાળ પર કેટલે દૂર સુધી જશે?
$(b)$ તેને પાછા તળિયે આવતા કેટલો સમય લાગશે?

(N/A) ઢાળ પર ઉપર તરફ ગબડતા નક્કર નળાકારને આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
નક્કર નળાકારનો પ્રારંભિક વેગ,$v = 5 \; m/s$.
ઢાળનો ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$.
$(a)$ ધારો કે નળાકાર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ છે.
તળિયે કુલ ઉર્જા = સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા + ચાકગતિ ઉર્જા
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$I = \frac{1}{2}mr^2$ અને $v = r\omega$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
મહત્તમ ઊંચાઈએ,નળાકાર ક્ષણિક સ્થિર થાય છે,તેથી કુલ ઉર્જા સ્થિતિ ઉર્જા છે:
$E_{top} = mgh$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{3}{4}mv^2 = mgh$
$h = \frac{3v^2}{4g} = \frac{3 \times 5^2}{4 \times 9.8} = \frac{75}{39.2} \approx 1.91 \; m$
ઢાળ પરનું અંતર,$d = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.91}{0.5} = 3.82 \; m$.
$(b)$ ઢાળ પર નીચે તરફ ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2}$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,$K^2/R^2 = 1/2$,તેથી $a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + 0.5} = \frac{g(0.5)}{1.5} = \frac{g}{3} = \frac{9.8}{3} \approx 3.27 \; m/s^2$.
$d = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,પાછા આવવા માટેનો સમય $t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.82}{3.27}} = \sqrt{2.337} \approx 1.53 \; s$.