$r$ त्रिज्या वाला एक गोलाकार गुब्बारा एक प्रेक्षक की आँख पर $\theta$ कोण बनाता है। यदि इसके केंद्र का उन्नयन कोण $\phi$ है,तो गुब्बारे के केंद्र की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना $O$ गुब्बारे का केंद्र है,$OP = r$ इसकी त्रिज्या है,और $A$ प्रेक्षक की आँख की स्थिति है। प्रेक्षक की आँख पर गुब्बारे द्वारा बनाया गया कोण $\angle PAQ = \theta$ है। रेखा $AO$,$\angle PAQ$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle OAP = \frac{\theta}{2}$ है।
केंद्र $O$ का उन्नयन कोण $\angle OAB = \phi$ है,जहाँ $B$,$O$ के ठीक नीचे जमीन पर स्थित बिंदु है। माना गुब्बारे के केंद्र की ऊँचाई $h$ है,इसलिए $OB = h$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में (जहाँ $\angle OPA = 90^\circ$ है क्योंकि दृष्टि रेखा गोले की स्पर्शरेखा है),हमें प्राप्त होता है:
$\sin(\angle OAP) = \frac{OP}{OA}$
$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{r}{OA}$
$OA = \frac{r}{\sin(\frac{\theta}{2})} = r \operatorname{cosec}\left(\frac{\theta}{2}\right)$ .....$(1)$
समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ में (जहाँ $\angle OBA = 90^\circ$ है),हमें प्राप्त होता है:
$\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA}$
$\sin \phi = \frac{h}{OA}$
$h = OA \sin \phi$ .....$(2)$
समीकरण $(1)$ से $OA$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$h = r \operatorname{cosec}\left(\frac{\theta}{2}\right) \sin \phi$
$h = r \sin \phi \operatorname{cosec}\left(\frac{\theta}{2}\right)$