$l$ लंबाई की एक छड़ी कमरे के फर्श और दीवार के सहारे टिकी हुई है। यदि छड़ी फर्श पर फिसलना शुरू करती है,तो उसके मध्य बिंदु का बिंदुपथ क्या होगा?

एक चर वृत्त बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है और वक्र $y = \tan(\tan^{-1} x)$ को स्पर्श करता है। वृत्त के केंद्र का बिंदुपथ एक परवलय है जिसका:

$|x+y|+|x-y|=4$ की शर्त के अधीन,जहाँ $x, y$ वास्तविक हैं,$x^2+y^2-4x-6y$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

माना फलन $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$,$x > 0$,अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान है और $(a, 4)$ में वर्धमान है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के एक बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु $(8a, 8a - 1)$ से होकर गुजरती है लेकिन बिंदु $(-\frac{1}{a}, 0)$ से होकर नहीं गुजरती है। यदि $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(0,0)$ से गुजरने वाली एक रेखा वृत्त $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ को $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त के केंद्र का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

यदि एक बिंदु $P$ इस प्रकार गति करता है कि $(0, 2)$ से $P$ की दूरी,$(-1, 0)$ से $P$ की दूरी की $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुनी है,तो बिंदु $P$ का बिंदुपथ क्या है?