एक छात्र को (2n + 1) पुस्तकों के संग्रह में स | vedclass

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Question

(B) छात्र कम से कम एक पुस्तक $T$ तरीकों से चुन सकता है,जहाँ $T = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + ... + {}^{2n+1}C_n = 63$ है।हम जानते हैं कि $(2n+1)$ के

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$3$

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(B) छात्र कम से कम एक पुस्तक $T$ तरीकों से चुन सकता है,जहाँ $T = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + ... + {}^{2n+1}C_n = 63$ है।हम जानते हैं कि $(2n+1)$ के लिए सभी द्विपद गुणांकों का योग ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ होता है।चूंकि ${}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_{2n+1-r}$,इसलिए ${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$ है।अतः,$1 + ({}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_n) + ({}^{2n+1}C_{n+1} + ... + {}^{2n+1}C_{2n}) + 1 = 2^{2n+1}$।चूंकि पहले $n$ पदों का योग $T$ है,और अगले $n$ पदों का योग भी $T$ है,इसलिए $1 + T + T + 1 = 2^{2n+1}$।$2 + 2T = 2^{2n+1} \Rightarrow 1 + T = 2^{2n}$।$T = 63$ दिया गया है,इसलिए $1 + 63 = 2^{2n} \Rightarrow 64 = 2^{2n}$।$2^6 = 2^{2n}$ $\Rightarrow 2n = 6$ $\Rightarrow n = 3$।

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