एक इकाई सदिश vec{a},z-अक्ष के साथ frac{pi}{4} | vedclass

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Question

(C) माना $\vec{a} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।चूँकि $\vec{a}$,$z$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है,इसलि

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$-\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$

Vedclass · Answer

(C) माना $\vec{a} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।चूँकि $\vec{a}$,$z$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है,इसलिए $n = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।अतः,$l^2 + m^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 \implies l^2 + m^2 = \frac{1}{2} \dots (i)$।दिया गया है कि $\vec{a} + \hat{i} + \hat{j}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|(l+1)\hat{i} + (m+1)\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}| = 1$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(l+1)^2 + (m+1)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1^2$।$l^2 + 2l + 1 + m^2 + 2m + 1 + \frac{1}{2} = 1$।$(l^2 + m^2) + 2(l+m) + 2.5 = 1$।समीकरण $(i)$ का मान रखने पर,$\frac{1}{2} + 2(l+m) + 2.5 = 1 \implies 2(l+m) = -2 \implies l+m = -1$।चूँकि $l^2 + m^2 = \frac{1}{2}$ और $l+m = -1$,इसलिए $(l+m)^2 = l^2 + m^2 + 2lm = 1 \implies \frac{1}{2} + 2lm = 1 \implies 2lm = \frac{1}{2} \implies lm = \frac{1}{4}$।$l+m = -1$ और $lm = \frac{1}{4}$ को हल करने पर हमें $l = m = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$\vec{a} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$।

एक इकाई सदिश $\vec{a}$,$z$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है। यदि $\vec{a} + \hat{i} + \hat{j}$ एक इकाई सदिश है,तो $\vec{a}$ किसके बराबर है?

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