एक बहुत लंबी (लंबाई $L$) बेलनाकार आकाशगंगा समान रूप से वितरित द्रव्यमान से बनी है और इसकी त्रिज्या $R$ $(R << L)$ है। आकाशगंगा के बाहर एक तारा आकाशगंगा के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाले तल में परिक्रमा कर रहा है। यदि तारे का आवर्तकाल $T$ है और आकाशगंगा की धुरी से इसकी दूरी $r$ है,तो:

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(a)$ पृथ्वी के भीतर के क्षेत्र में,गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के केंद्र से दूरी के ..... समानुपाती होता है।
$(b)$ यदि पृथ्वी इस प्रकार सिकुड़ती है कि उसकी त्रिज्या आधी हो जाए और उसका द्रव्यमान स्थिर रहे,तो पृथ्वी पर किसी वस्तु का भार ......... गुना बढ़ जाएगा।
$(c)$ पृथ्वी के भूस्थिर उपग्रह का कक्षीय वेग लगभग ............ है।

$V_0$ चाल से एक सीधी रेखा में दूर से आ रहा $m$ द्रव्यमान का एक पिंड,जब $M$ द्रव्यमान वाले ब्लैक होल के पास से गुजरता है,तो वह विक्षेपित हो जाता है। ब्लैक होल मूल उड़ान पथ से $R$ लंबवत दूरी पर है। पिंड और ब्लैक होल के बीच निकटतम पहुंच की दूरी $a$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

$m$ द्रव्यमान की एक छोटी गेंद को पृथ्वी की सतह से $R$ ऊँचाई पर छोड़ा जाता है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। गेंद एक संकरी खांच में प्रवेश करती है और क्षण भर के लिए रुकने से पहले पृथ्वी के अंदर $R/2$ की अधिकतम गहराई तक पहुँच जाती है। खांच में $K$ स्प्रिंग नियतांक और $R$ प्राकृतिक लंबाई वाली एक आदर्श स्प्रिंग है। यदि $R$ पृथ्वी की त्रिज्या और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

तीन बिंदु द्रव्यमान,प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है,$L$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के कोनों पर रखे गए हैं। यह निकाय त्रिभुज के केंद्र के परितः घूमता है। घूर्णन का आवर्तकाल $T$ किसके सीधे आनुपातिक है?

पृथ्वी की सतह पर स्थित एक पिंड भूमध्य रेखा पर तब भारहीन हो जाता है जब पृथ्वी की घूर्णन गतिज ऊर्जा एक क्रांतिक मान '$K$' तक पहुँच जाती है। '$K$' का मान ज्ञात कीजिए [$g$ = पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण,$M$ = पृथ्वी का द्रव्यमान और $R$ = पृथ्वी की त्रिज्या].