એક દુશ્મન અપાચે હેલિકોપ્ટર $y = x^{2} + 7$ વક્ર પર ઉડી રહ્યું છે. $(3, 7)$ પર રહેલો એક સૈનિક હેલિકોપ્ટર જ્યારે તેની સૌથી નજીક હોય ત્યારે તેને તોડી પાડવા માંગે છે. સૌથી નજીકનું અંતર શોધો.

જો વાસ્તવિક રેખા $R$ પર વ્યાખ્યાયિત સતત વિધેય $f$ એ $R$ માં ધન અને ઋણ કિંમતો ધારણ કરે,તો સમીકરણ $f(x)=0$ ને $R$ માં એક બીજ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો એવું જાણીતું હોય કે $R$ પરનું સતત વિધેય $f$ કોઈ બિંદુએ ધન છે અને તેની ન્યૂનતમ કિંમત ઋણ છે,તો સમીકરણ $f(x)=0$ ને $R$ માં એક બીજ હોય છે.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x)=k e^x-x$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k$ એ વાસ્તવિક અચળાંક છે.
$1.$ રેખા $y=x$ એ $k \leq 0$ માટે $y=k e^x$ ને ક્યાં મળે છે?
$(A)$ કોઈ બિંદુએ નહીં $(B)$ એક બિંદુએ $(C)$ બે બિંદુએ $(D)$ બે થી વધુ બિંદુએ
$2.$ $k$ ની ધન કિંમત જેના માટે $k e^x-x=0$ ને માત્ર એક જ બીજ હોય તે છે
$(A)$ $1/e$ $(B)$ $1$ $(C)$ $e$ $(D)$ $\log_e 2$
$3.$ $k>0$ માટે,$k$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ જેના માટે $k e^x-x=0$ ને બે ભિન્ન બીજ હોય તે છે
$(A)$ $(0, 1/e)$ $(B)$ $(1/e, 1)$ $(C)$ $(1/e, \infty)$ $(D)$ $(0, 1)$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

$x^x$ નો સ્થિર બિંદુ (stationary point) ક્યાં છે?

વિધેય $f(x)=(x-2)^{4}(x+1)^{3}$ માટે નીચેના બિંદુઓ શોધો:
$(i)$ સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય
$(ii)$ સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય
$(iii)$ નતિપરિવર્તન બિંદુ

ધારો કે $AP$ અને $BQ$ એ અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ પર આવેલા બે શિરોલંબ થાંભલા છે. જો $AP=16 \, m, BQ=22 \, m$ અને $AB=20 \, m$ હોય,તો $AB$ પરના બિંદુ $R$ નું બિંદુ $A$ થી અંતર શોધો જેથી $RP^2 + RQ^2$ ન્યૂનતમ થાય. ($, m$ માં)

જો $x+y=6, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ હોય,તો $x^2 y$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?