परमाणु के एक प्रारंभिक मॉडल में इसे $Ze$ आवेश वाले धनात्मक बिंदु नाभिक के रूप में माना गया है,जो $R$ त्रिज्या तक ऋणात्मक आवेश के एक समान घनत्व से घिरा है। परमाणु समग्र रूप से उदासीन है। इस मॉडल के लिए,नाभिक से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र क्या है?

(N/A) हल:
परमाणु के इस मॉडल के लिए आवेश वितरण चित्र में दर्शाया गया है। $R$ त्रिज्या के एकसमान गोलाकार आवेश वितरण में कुल ऋणात्मक आवेश $-Ze$ होना चाहिए,क्योंकि परमाणु (नाभिक का आवेश $Ze$ + ऋणात्मक आवेश) उदासीन है। यह हमें तुरंत ऋणात्मक आवेश घनत्व $\rho$ देता है,क्योंकि:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho = -Ze$
$\rho = -\frac{3Ze}{4 \pi R^{3}}$
नाभिक से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E(r)$ ज्ञात करने के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं। आवेश वितरण की गोलाकार समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र $E(r)$ का परिमाण केवल त्रिज्यीय दूरी $r$ पर निर्भर करता है। इसकी दिशा मूल बिंदु से बिंदु $P$ तक के त्रिज्यीय सदिश के अनुदिश होती है। गॉसियन सतह नाभिक पर केंद्रित एक गोलाकार सतह है। हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं: $r < R$ और $r > R$.
$(i)$ $r < R$: गोलाकार सतह द्वारा परिबद्ध विद्युत फ्लक्स $\phi = E(r) \times 4 \pi r^{2}$ है। गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध आवेश $q$ धनात्मक नाभिकीय आवेश और $r$ त्रिज्या के गोले के भीतर का ऋणात्मक आवेश है,अर्थात $q = Ze + \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho$। आवेश घनत्व $\rho$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $q = Ze - Ze \frac{r^{3}}{R^{3}}$ प्राप्त होता है। गॉस का नियम देता है $E(r) \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$,इसलिए $E(r) = \frac{Ze}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{r^{2}} - \frac{r}{R^{3}} \right)$। विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है।
$(ii)$ $r > R$: इस स्थिति में,गॉसियन गोलाकार सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश शून्य है क्योंकि परमाणु उदासीन है। अतः,गॉस के नियम से,$E(r) \times 4 \pi r^{2} = 0$,जिसका अर्थ है कि $r > R$ के लिए $E(r) = 0$।