एक दीर्घवृत्त E: frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2 | vedclass

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Question

(B) अतिपरवलय $H$ समीकरण $\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{49} = 1$ द्वारा दिया गया है। इसके शीर्ष $(0, \pm 8)$ हैं।चूंकि दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^

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$1552$

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(B) अतिपरवलय $H$ समीकरण $\frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{49} = 1$ द्वारा दिया गया है। इसके शीर्ष $(0, \pm 8)$ हैं।चूंकि दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ बिंदु $(0, \pm 8)$ से गुजरता है,इसलिए $b^2 = 64$,यानी $b = 8$ है।अतिपरवलय $H$ की उत्केंद्रता $e_H = \sqrt{1 + \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{113}{64}} = \frac{\sqrt{113}}{8}$ है।दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता $e_E = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{64}}$ है।दिया गया है कि $e_E 	imes e_H = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sqrt{1 - \frac{a^2}{64}} 	imes \frac{\sqrt{113}}{8} = \frac{1}{2}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - \frac{a^2}{64}) 	imes \frac{113}{64} = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - \frac{a^2}{64} = \frac{16}{113}$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{a^2}{64} = 1 - \frac{16}{113} = \frac{97}{113}$,जिससे $a^2 = \frac{64 	imes 97}{113}$ मिलता है।नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2a^2}{b} = \frac{2}{8} 	imes \frac{64 	imes 97}{113} = \frac{1552}{113}$ है।इसलिए,$113l = 1552$।

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\left[\frac{p}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right), \frac{q}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]$	$(I)$ परवलय
$(B)$ $(p+q \cos \theta, r+q \sin \theta)$	$(II)$ वृत्त
$(C)$ $(p+\lambda^2, q-\lambda)$	$(III)$ दीर्घवृत्त
	$(IV)$ अतिपरवलय

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