$(10, -1)$ से गुजरने वाली और $y = \frac{x^2}{4} - 2$ के लंबवत रेखा का समीकरण है

मान लीजिए कि $T_1$ और $T_2$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ और परवलय $P: y^2=12x$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $T_1$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_1$ और $A_2$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_4$ और $A_3$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है।
$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है।
$(C)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-3,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।
$(D)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-6,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।

परवलय $(x - 1)^2 = 4(y - 2)$ और दीर्घवृत्त $\frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y - 2)^2}{2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1^2 + m_2^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $e_1$ और $e_2$ क्रमशः दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रताएँ हैं। यदि $b < 5$ और $e_1 e_2 = 1$ है,तो उस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या होगी जिसके अक्ष निर्देशांक अक्षों के अनुदिश हैं और जो चारों नाभियों (दो दीर्घवृत्त की और दो अतिपरवलय की) से होकर गुजरता है?

$A$ क्षेत्रफल वाला त्रिभुज $PQR$ परवलय $y^2 = 4ax$ में इस प्रकार अंकित है कि शीर्ष $P$ परवलय के शीर्ष पर स्थित है और आधार $QR$ एक नाभिलंब जीवा है। बिंदुओं $Q$ और $R$ के कोटियों के अंतर का मापांक क्या है?

वक्रों $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $T$ चौथे चतुर्थांश से होकर नहीं गुजरती है। यदि $T$,$C_{1}$ को $(x_{1}, y_{1})$ पर और $C_{2}$ को $(x_{2}, y_{2})$ पर स्पर्श करती है,तो $|2x_{1} + x_{2}|$ का मान $......$ है।