एक समबाहु त्रिभुज परवलय y^{2}=4ax के अंतर्गत | vedclass

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Question

(A) माना $OAB$ परवलय $y^{2}=4ax$ के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है,जहाँ $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है।माना $AB$ एक जीवा है जो $x$-अक्ष के लंबवत है और उसे बिंद

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$8\sqrt{3}a$

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(A) माना $OAB$ परवलय $y^{2}=4ax$ के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है,जहाँ $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है।माना $AB$ एक जीवा है जो $x$-अक्ष के लंबवत है और उसे बिंदु $C(k, 0)$ पर काटती है।परवलय के समीकरण से,$x=k$ के लिए,$y^{2}=4ak$,अतः $y=\pm 2\sqrt{ak}$.इस प्रकार,$A$ और $B$ के निर्देशांक $(k, 2\sqrt{ak})$ और $(k, -2\sqrt{ak})$ हैं।भुजा $AB$ की लंबाई $= 2\sqrt{ak} - (-2\sqrt{ak}) = 4\sqrt{ak}$.चूँकि $OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है,$OA=AB$,अतः $OA^{2}=AB^{2}$.$OA^{2} = k^{2} + (2\sqrt{ak})^{2} = k^{2} + 4ak$.$AB^{2} = (4\sqrt{ak})^{2} = 16ak$.समीकरण करने पर: $k^{2} + 4ak = 16ak \Rightarrow k^{2} = 12ak$.चूँकि $k 
eq 0$,इसलिए $k = 12a$.भुजा की लंबाई $AB = 4\sqrt{a(12a)} = 4\sqrt{12a^{2}} = 4(2\sqrt{3}a) = 8\sqrt{3}a$.

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